Вправи: 1167

1167. Розв’яжіть у цілих числах рівняння:

a) 3n - 7m = 5; n = 5+7m3; m = 1, n = 4; m = 4, n - 11. Якщо m =

= 3k + 1, то

n = 5+3k+1• 73 = 5+21k+73 = 21k+123 = 3(7k+4)3 = 7k + 4.

Відповідь: рівняння має безліч цілих розв’язків, якщо m = 3k + 1, то

n = 7k + 4, де k — будь-яке число.

б) n² - m² = 9; (n - m)(n + m) = 9.

1) Якщо n - m = 1, то n + m = 9; 2n = 10; n = 5; m = 4.

2) Якщо n - m = -1, то n + m = -9; 2n = -10; n = -5; m = -4.

3) Якщо n - m = 3, то n + m = 3; 2n = 6; n = 4; m = 0.

4) Якщо n - m = - 3, то n + m = -3; 2n = - 6; n = -3; m = 0.

5) Якщо

n - m = -9, тоn + m = -1;

n = -5,m = 4.

6) n - m = 9, то n + m = 1;

n = 5,m = -4.

Відповідь: (-5; -4); (5; 4); (3; 0); (-3; 0); (-5; 4); (5; -4).

в) n² + 2mn - 8m² = 7; n² + 2mn + m² - 9m² = 7; (n + m)² -9m² = 7;

(n + m - 3m)(n + m + Зm) = 7; (n - 2m)(2 + 4m) = 7.

1) Якщо

n - 2m = 1, тоn + 4m = 7;

-n + 2m = -1,n + 4m = 7;

6m = 6; m = 1; n = 1 + 2m; n = 3.

2) Якщо

n - 2m = 7, тоn + 4m = 1;

-n + 2m = -7,n + 4m = 1;

6m = -6; m = -1; n = 7 + 2m; n = 5.

3) Якщо

n - 2m = -1, тоn + 4m = -7;

-n + 2m = 1,n + 4m = -7;

6m = -6; m = -1; n = -1 + 2m; n = -3.

4) Якщо

n - 2m = -7, тоn + 4m = -7;

-n + 2m = 7,n + 4m = -1;

6m = 6; m = 1; n = -7 + 2m; n = -5.

Відповідь: (3; 1); (5; -1); (-3; -1); (-5; 1).

г) n² + 2m² - 2mn - 4m + 4 = 0; (n² - 2mn + m²) + (m² - 4m + 4) =

=0;

(n - m)² + (m - 2)² = 0; n - m = 0, n = 2,

m - 2 = 0; m = 2.

Відповідь: (2; 2).