Вправи: 1148

1148. а) Доведіть, що не існує цілих чисел m і n, для яких виконувалася б рівність 8n + 2 = m².

Вказівка. Припустимо, що такі цілі числа m і n існують. Тоді з рівності

8n + 2 = m2 випливає, що m2 є парним числом. Тому й число m — парне. Нехай m = 2k, де k — ціле число. Обґрунтуйте, що рівність

8n + 2 = 4k² для цілих n і k не може бути правильною.

б) Доведіть, що серед чисел виду 8n + 2, де n — натуральне число, немає квадрата цілого числа.

в) Доведіть, що сума квадратів двох послідовних непарних чисел не є квадратом цілого числа.

а) Припустимо, що такі числа m і n існують. Тоді з рівності 8n + 2 =

= m², випливає, що m2 парне число, тому m — теж парне.

Підставимо в рівність: 8n + 2 = 4а² або 4n + 1 = 2а². 4n + 1 — непарне, 2а² — парне, тому для цілих значень n і а рівність не виконується. Припущення не правильне, чисел m і n, щоб виконувалась рівність 8n + 2 = m² не існує. Доведено.

б) Щоб 8n + 2, де n — натуральне число, було квадратом цілого числа, повинна виконуватись рівність 8n + 2 = m2, що неможливо за попереднім доведенням. Доведено.

в) Нехай два послідовні непарні числа дорівнюють 2n - 1 і 2n +1.

Сума квадратів таких чисел дорівнює

(2n - 1)² + (2n +1)² = 4n² - 4n +1 + 4n² + 4n + 1 = 8n² + 2, але

8n² + 2 не є квадратом цілого числа. Доведено.