Вправи: 1147

1147. а) Доведіть, що квадрат цілого числа або ділиться на 3, або при діленні на 3 дає в остачі 1.

Вказівка. Ціле число n може мати вигляд: 1) n = 3k; 2) n = 3k + 1; 3) n = 3k + 2,

де k — ціле число. Розгляньте три можливі випадки.

б) Доведіть, що для кожного натурального значення п число 3п + 2 не є квадратом цілого числа.

в) Доведіть, що сума квадратів трьох послідовних цілих чисел не є

квадратом цілого числа.

г) Доведіть, що не існує натуральних чисел m і п, для яких виконувалася б рівність m² + 1 = 3n.

а) Ціле число може мати вигляд у = 3k, n = 3k + 1 або n = 3k + 2.

Розглянемо три випадки. Якщо n = 3k, то n² = 9k², тому n² ділиться на 3.

Якщо n = 3k + 1, то n² = (3k + 1)² = 9k² + 6k + 1 = 3(3k² + 2k) +

+ 1, тому при дiленні на 3 число n² має остачу 1.

Якщо n = 3k + 2, то n² = (3k + 2)² = 9k² + 12k + 4 = 3(3k² + 4k +

+ 1) + 1, тому при діленні на 3 числа n² має остачу 1.

Розглянуто всі можливі випадки, отже, квадрат цілого числа або ділиться на 3, або при діленні дає остачу 1.

б) Число 3n+ 2 при діленні на 3 дає остачу 2, а квадрат цілого числа

або ділиться на 3, або при діленні на 3 дає остачу 1, тому число 3n + 2 не є квадратом цілого числа, доведено.

в) Нехай три послідовних цілих числа n - 1, n і n + 1. Сума квадратів чисел дорівнює (n - 1)² + n² + (n +1)² = n² - 2n +1 + n² + n² + 2n+ +1 = Зn² + 2.

Таке число не є квадратом цілого числа, тому сума квадратів трьох послідовних цілих чисел не є квадратом цілого числа. Доведено.

г) m² - 1 = Зn, m² = 3n - 1. Число Зn - 1 при діленні на 3 дає остачу 2, тому не існує натуральних чисел m і n, для яких виконувалась б рівність m² + 1 = Зn. Доведено.