Вправи: 1149

1149. а) Нехай n — деяке натуральне число. Доведіть, що за числом n² наступні 2n натуральних чисел не є квадратами натуральних чисел.

б) Доведіть, що число 520 + 1 не є квадратом натурального числа.

в) Доведіть, що не існує натуральних чисел m і n, для яких виконувалася б рівність 52m + 4 = n².

а) Якщо n — деяке натуральне число, то наступне число n + 1.

Знайдемо (n + 1)² = n² + 2n + 1, тому за числом n² наступні 2n натуральних чисел не є квадратами натурального числа. Доведено.

б) 5²⁰ + 1. Якщо n = 5¹⁰, то n² = (5¹⁰)² = 5²⁰. Наступні 2n чисел не є квадратами натуральних чисел, а саме 2n = 2 • 5¹⁰, тому 5²⁰ + 1 не є квадратом натурального числа.

в) 5^2m + 4 = n². Якщо 5^m деяке натуральне число, то за числом 5²ⁿ наступні 2 • 5^m натуральних чисел не є квадратами натуральних чисел. При умові, що m = 1, то 2 • 5 = 10, 10 > 4, тому 5^2m + 4 не може дорівнювати n², якщо m і n — натуральні числа. Доведено.