Вправи: 1142

1142. Доведіть: якщо число y є середнім арифметичним чисел x і z

x⁴ + 2х³z - 2хz³ - z⁴ - 4x²у² + 4y²x² = 0;

y = x+z2 (y — середнє арифметичне х і z). 2у = x + z.

Перетворимо ліву частину даної рівності:

(х⁴ - z⁴) + (2х³z - 2xz³) - (4х²у² - 4y²z²) = (х² - z²)(x² + z²) + 2xz(x² -- z²) - 4y²(х² - z²) = (x² - z²)(x² + z² + 2xz - 4y²) = (x² - z²)((x + z)² -

- 4y²) = (x² - z²)((2y)² - 4y²) = (x² - z²)(4y² - 4y²) = 0. Доведено.