Відповіді ГЕОМЕТРІЯ: 9.31

9.31 Точка Р рівновіддалена від усіх прямих, що містять сторони паралелограма. Доведіть, що цей паралелограм є ромбом.

АВСD – паралелограм;

S ⊄ (ABC); SO⊥(ABC);

SP⊥СD, SK⊥АD;

S рівновіддалена від сторін паралелограм.

Довести: АВСD ромб.

Якщо SР⊥СD, то ОР⊥СD і якщо SК⊥АD, то ОК⊥АD.

Розглянемо ∆SOK і ∆SOР, SО – спільна SК = SР (бо S рівновіддалена від сторін).

За катетом і гіпотенузою ∆SOK = ∆SOР; ОК = ОР. Точка О – рівновіддалена від сторін паралелограма, але така точка може бути лише в ромбі АВСD – ромб.