Відповіді ГЕОМЕТРІЯ: 7.34

7.34 Один із катетів прямокутного трикутника дорівнює 6 см, а другий – на 2 см коротший за гіпотенузу. Точка, що не лежить у площині трикутника, віддалена від кожної з його вершин на 13 см. Знайдіть відстань від даної точки до площини трикутника.

∆АВС, ∠С = 90°;

АС = 6 см, МА = МВ = МС = 13 см;

АВ – ВС = 2 см;

ρ(М, (АВС)) – ?

Якщо МА = МВ = МС, то АО = ВО = СО, де О – основа перпендикуляра, опущеного з М на (АВС).

О – середина гіпотенузи.

Нехай ВС = х, тоді АВ = х + 2;

За т. Піфагора з ∆АВС: АВ² = АС² + СВ²;

36 + х² = (х + 2)²;

36 + х² = х² + 4х + 4;

4х = 32;

х = 8;

Отже, СВ = 8, то АВ = 10 см;

АО = ОВ = 5 см;

МО = МВ2- ОВ2 = 132-52 = 12 (см).