Відповіді ГЕОМЕТРІЯ: 7.33

7.33 Площа прямокутного трикутника дорівнює 6 см², а різниця його катетів – 1 см. Точка М віддалена від усіх його вершин. Знайдіть відстань від точки М до вершин трикутника.

∆АВС, S∆АВС = 6 см²;

∠АСВ = 90°;

ВС – АС = 1 см;

ρ(М, (АВС)) = 6 см;

МА = МВ = МС;

МА – ?

Якщо М рівновіддалена від вершин, точка О – основа перпендикуляра, опущеного на (АВС), то О – центр описаного кола навколо ∆АВС. В прямокутному трикутнику центр описаного кола лежить по середині гіпотенузи. АО = ОВ;

МО = 6 см.

Нехай АС = х, тоді ВС = х + 1;

S∆_АВС = 12АС • ВС;

12 • х • (х + 1) = 6;

х(х + 1) = 12;

х² + х – 12 = 0;

х₁ = 3; х₂ = –4 < 0 не підх. за умовою;

Отже, АС = 3, ВС = 4, тоді АВ = 5 см;

(∆АВС – єгипетський);

АО = ОВ = 52 см.

АМ = МО2+АО2 = 36+ 254 = 1694 = 132 (см);

АМ = 6,5 см.