Відповіді до вправ: 9.38

9.38 Площа прямокутного трикутника дорівнює 6 см², а різниця його катетів – 1 см. Точка M віддалена від площини трикутника на 6 см і рівновіддалена від усіх його вершин. Знайдіть відстань від точки M до вершин трикутника.

∆АВС, S∆АВС = 6 см², ∠АСВ = 90°, ВС – АС = 1 см, ρ(М, (АВС)) = 6 см, МА = МВ = МС.

МА – ?

Якщо М рівновіддалена від вершин, точка О – основа перпендикуляра, опущеного на (АВС), то О – центр описаного кола навколо ∆АВС. В прямокутному трикутнику центр описаного кола лежить по середині гіпотенузи. АО = ОВ, МО = 6 см.

Нехай АС = х, тоді ВС = х + 1.

S∆_АВС = 12АС • ВС;

12 • х • (х + 1) = 6.

х(х + 1) = 12.

х² + х – 12 = 0.

х₁ = 3; х₂ = –4 < 0 не підх. за умовою.

Отже, АС = 3, ВС = 4, тоді АВ = 5 см. (∆АВС – єгипетський).

АО = ОВ = 52 см.

АМ = МО2+АО2 = 36+ 254 = 1694 = 132 (см).

АМ = 6,5 см.