§ 40: 40.30

40.30 При яких значеннях параметра a функція має додатну точку мінімуму?

y = x33 – 3a+12 x² + (2a² + 2a)x + 19.

Якщо точка x₀ – точка мінімуму, то x₀ – корінь рівняння у’(х) = 0 і при переході через цю точку похідна змінює знак з «–» на «+».

у’(х) = x² – (Зx – 1)х + (2а² + а).

Знайдемо критичні точки: у’ = 0; x² – (3а + 1)x + (2а² – а) = 0.

D = (3а – 1)² – 4 • (2а² – 2а) = 9а² – 6а + 1 – 8а² + 4а = а² – 2а + 1 = (а – 1)²;

При D > 0 маємо:

x₁ = 3a-1- (a- 1)22 = 3a-1-|a-1|2;

x₂ = 3a-1+ (a- 1)22 = 3a-1+|a-1|2.

Оскільки коефіцієнт при x² додатний, то праний екстремум є точкою мінімуму. За умовою x₂ > 0. 3a – 1 + |а – 1| > 0.

Якщо а > 1, то 3а – 1 + а – 1 > 0;

4а > 2; а > 12.

Маємо: а > 1, а ∈ (1; +∞).

Якщо a < 1, то 3а – 1 – а + 1 > 0; 2а > 0; а > 0.

Маємо: 0 < a < 1, а ∈ (0; 1).

Відповідь: (0; 1) ∪ (1; +∞) .