§ 40: 40.32

40.32 При яких значеннях параметра a точка x₀ = 0 є точкою

максимуму функції

y = x33 – ax² + (a² – 1)x – 9.

Якщо точка x₀ є точкою максимуму, то x₀ – корінь рівняння у’(х) = 0, і при переході через цю точку похідна змінює знак з «+» на «–»

у’ = x² – 2ах + (а² – 1); у’ = 0 або х² – 2ах + (а² – 1) = 0;

D = (a)² – 4(a² – 1) = 4a² – 4a² + 4 = 4;

x₁ = 2a- 42 = 2a-22 = a – 1; x₂ = 2a+ 42 = 2a+22 = a + 1.

Оскільки коефіцієнт при х² додатний, то лівий екстремум є точкою максимуму: x₁ = х₀; а – 1 = 0; а = 1.

Відповідь: а = 1.