§ 40: 40.29

40.29 При яких значеннях параметра a функція має додатну точку мінімуму?

y = x33 – 3a+12 x² + (2a² + 2a)x – 17.

Якщо точка x₀ – точка мінімуму, то x₀ – корінь рівняння у’(х) = 0, і при переході через цю точку похідна змінює знак з «–» на «+».

у’(х) = x² – (За – 1)х + (2а² + 2а);

у’(х) = 0; x² – (3а + 1)x + (2а² + 2а) = 0;

D = (3а + 1)² – 4 • (2а² + 2а) = 9а² + 6а + 1 – 8а² – 8а = а² – 2а + 1 = (а – 1)²;

x₁ = 3a+1- (a- 1)22 = 3a+1-|a-1|2;

x₂ = 3a+1+ (a- 1)22 = 3a+1+|a-1|2, x₂ > x₁.

Оскільки коефіцієнт при x² додатний, то праний екстремум є точкою мінімуму. За умовою x₂ > 0. 3a+1+|a-1|2 > 0; 3a + 1 + |а – 1| > 0.

Якщо а > 1, то 3а + 1 + а – 1 > 0; 4а > 0; а > 0.

Маємо: а > 1, а ∈ (1; +∞).

Якщо a < 1, то 3a + 1 – а + 1 < 0;

2a > –2; a > –1.

Маємо: –1 < а < 1; а ∈ (–1; 1).

Відповідь: (–1; 1) ∪ (1; +∞).