§ 40: 40.28 (1)

40.28 Знайдіть точки мінімуму і максимуму функції:

1) f(x) = cos x cos (x – π3); f’(x) = (cosx)’ • cos(x – π3) + cosx • (cos(x – π3))’ = –sinxcos(x – π3) – cosx • sin(x – π3) = –sin(x + x – π3) = –sin(2x – π3).

f’(x) = 0, якщо sin(2x – π3) = 0;

2x – π3 = πn, n ∈ Z; 2x = π3 = πn, n ∈ Z;

x = π6 + πn2, n ∈ Z – критичні точки.

f’(x) < 0, якщо sin (2x – π3) > 0; 2πn < 2x – π3 < π + 2πn,

π3 = 2πn < 2x < π3 + π + 2πn, π6 + πn < x < 2π3 + πn, n ∈ Z

f’(x) > 0, якщо sin (2x – π3) < 0; π + 2πn < 2x – π3 < 2π + 2πn,

4π3 + 2πn < 2x < 7π3 + 2πn, 2π3 + πn < x < 7π6 + πn, n ∈ Z;

x_min = 2π3 + πn, x_max = π6 + πn, n ∈ Z.

2) f(x) = 3cosx – sinx – x;

f’(x) = –3sinx – cos – 1 = –2(32sixx + 12cosx) – 1 = –2(sinπ3sinx + cosπ3cosx) – 1 = –2 cos(x – π3) – 1.

f’(x) = 0, якщо –2cos(x – π3) – 1 = 0;

2cos(x – π3) = –1; cos(x – π3) = –12;

x – π3 = ±(π – π3) + πn; x = ± π + 2πn, n ∈ Z – критичні точки.

f’(x) > 0, якщо –2cos(x – π3) – 1 > 0;

2cos(x – π3) < –1; cos(x – π3) < – 12;

2π3 + 2πn < x – π3 < 4π3 + 2πn, n ∈ Z; 2π3 + π3 + 2πn < x < 4π3 + π3 +

+2πn, n ∈ Z; π + 2πn < x < 5π3 + π3 + 2πn, n ∈ Z.

f’(x) < 0, якщо –2cos(x – π3) – 1 < 0; 2cos(x – π3) > –1;

–2π3 + 2πn < x – π3 < 2π3 + 2πn, n ∈ Z; –π3 + 2πn < x < π + 2πn, n ∈ Z.

Врахуємо, що –π3 = 5π3, тоді x_min = π + 2πn, x_max = –π3 + 2πn, n ∈ Z.