§ 40: 40.27 (1)

40.27 Знайдіть точки мінімуму і максимуму функції:

1) f(x) = sinxsin(x – π4); f’(x) = (sinx)’(x – π4) + sinx(sin(x – π4))’ = cos xsin(x – π4) + sinxcos(x – π4) = sin(x + x – π4) = sin(2x – π4).

f’(x) = 0; sin(2x – π4) = 0; 2x – π4 = πn; 2x = π4 + πn; x = π8 + πn2,

n ∈ Z.

З огляду на періодичність, на проміжку [–π2; π2] критичних точок дві:

π8 і –3π8. Визначивши знак похідної на проміжках, утворених цими точками, одержимо

Відповідь: x_min = π8 – πk, x_max = –3π8 + πk, k ∈ Z.

2) f(x) = sin² x – cosx; f’(x) = 2sinxcosx + sinx.

f’(x) = 0, якщо 2sinxcosx + sinx = 0; sinx(2cosx + 1) = 0;

sinx = 0, x = πn, x = πn,

2cosx = –1; cosx = –12, n ∈ Z; x = ± 2π3 + 2πn, n ∈ Z.

Позначимо критичні точки на одиничному колі

і визначимо знак похідної на кожному з утворених

проміжків.

За ознакою екстремуму x_min = πn, n ∈ Z;

x_max = ± 2π3 + πn, n ∈ Z.