§ 40: 40.31

40.31 При яких значеннях параметра a точка x₀ = 1 є точкою

мінімуму функції

y = x33 + ax² + (a² – 4)x + 7.

Якщо точка x₀ є точкою мінімуму функції у, то x₀ – корінь рівняння

у’(x) = 0 i при переході через цю точку похідна змінює знак з «–» на «+». у’ = х² + 2ах + (а² – 4); у’ = 0 або х² + 2ах + (а² – 4) = 0;

D = 4a² – 4(a² – 4) = 4a² – 4a² + 16 = 16;

x₁ = -2a+ 162 = -2a+42 = –a + 2; x₂ = -2a- 162 = -2a-42 = –a – 2. Оскільки коефіцієнт при х² додатний, то правий екстремум є точкою мінімуму:

x₁ = х₀; –а + 2 = 1; –а = –1; а = 1.

Відповідь: а = 1.