§ 40: 40.33-40.34

40.33 При яких значеннях параметра a точка x₀ = 1 є точкою екстремуму функції y = x³ – ax² + (a² – 2a) x – 7?

Якщо точка x₀ = 1 є точкою екстремуму функції у = х³ – ах² + (а² – 2а)х – 7, то х₀ – корінь рівняння у’(х) = 0.

у’ = Зх² – 2ах + (a² – 2а); у’ = 0; 3х² – 2ах + (а² – 2а) = 0;

D = (2а)² – 4(а² – 2а) • 3 = 4а² – 12а² + 24а = 24а – 8а².

Точки екстремуму існують, якщо 24а – 8а² > 0.

8а(3 – а) > 0, 0 < а < 3.

Отже, екстремуми функції існують, якщо а ∈ (0; 3).

x_1,2 = 2a ± 24a-8a26. За умовою х₀ = 1.2a ± 24a-8a26 = 1;

24a-8a2 = 6 – 2а; 24а – 8а² = (6 – 2а)²;

24 – 8а² – 36 – 24а + 4а²; 12а² – 48а + 36 = 0; а² – 4а + 3 = 0;

а₁ = 3; а₂ = 1.

Враховуючи, що а ∈ (0; 3), маємо: а = 1.

40.34 При яких значеннях параметра a точка x₀ = 2 є точкою екс–

тремуму функції y = x³ – 2ax² + (2a² – 2a) x + 9?

Див. № 40.33