§ 27: 27.17

27.17 При яких значеннях параметра a рівняння (x – a)(cosx + 32) = 0 має єдиний корінь на проміжку [π; 3π2]?

(cosx + 32)(x – a) = 0 має єдиний корінь на проміжку [π; 3π2].

(cosx + 32)(x – a) = 0 ⇔

cosx + 32 = 0; cosx = –32; x = ± arccos(–32) + 2πn, n ∈ Z;

x – a = 0; x = a; x = a;

x = ± 3π2 + 2πn, n ∈ Z;

x = a.

Із групи коренів х = ± 5π2 + 2πn, n ∈ Z на проміжку [π; 3π2] попадає корінь х = 7π6. Для того, щоб він був єдиний а повинно дорівнювати

7π6. Якщо а ≠ 7π6, то х = а – не буде коренем рівняння з проміжку [π; 3π2] за умови, що а ∈ (–∞; π) ∪ (3π2; +∞) і х = 7π6 буде єдиним коренів на проміжку [π; 3π2].

Відповідь: а ∈ (–∞; π) ∪ (3π2; +∞) ∪ {7π6}.