§ 27: 27.18

27.18 При яких значеннях параметра a рівняння (x + a)(cosx – 22) = 0 має єдиний корінь на проміжку [–π2; 0]?

(x + a)(cosx – 22) = 0 має єдиний корінь на проміжку [–3π2; 0].

(x + a)(cosx – 22) = 0 ⇔

cosx – 22 = 0; cosx = 22; x = ± arccos π4 + 2πn, n ∈ Z;

x = –a; x = –a; x = –a;

x = ± π4 + 2πn, n ∈ Z;

x = –a.

Із групи коренів х = ± π4 + 2πn, n ∈ Z на проміжку [3π2; 0] належить корінь х = –π4. Для того, щоб він був єдиним необхідно щоб а = π4. Якщо а ≠ π4, то х = –а не буде коренем рівняння з проміжку [–3π2; 0] за умови, що –а < –π2 і –a > 0. Тобто якщо a > π2, a < 0. Тоді х = –π4 – буде єдиним коренем рівняння.

Відповідь: а ∈ (–∞;0) ∪ (π2; +∞) ∪ {π4}.