Відповіді до вправ підручника: 6.49

6.49. Знайдіть діагоналі правильного восьмикутника, сторона якого дорівнює a.

Дано: правильний восьмикутник,

NМ — сторона, NМ = а.

180°(n – 2) = 180° • (8 – 2) = 180° • 6 = 1080°; $\angle$N = 1080° : 8 = 135°. ∆КМN — рівнобедрений.

1) d₁ = МК — діагональ восьмикутника;

МК² = а² + а² + 2а² соs 45° = 2а² + 2а² • $\frac{\sqrt{2}}{2}$; MK = a$\sqrt{2+\sqrt{2}}$;

2)

MP = d₂ – діагональ восьмикутника;

PQ = FM = $\frac{a\sqrt{2}}{2}$;

PM = $\frac{2a\sqrt{2}}{2}$ + a = a$\sqrt{2}$ + a = a($\sqrt{2}$ + 1);

3) MA = d₃ – діагональ восьмикутника;

AM² = AP² + MP²; $d_3^2$ = a² + a²($\sqrt{2}$ + 1)² = a² + a²(2 + 2$\sqrt{2}$ + 1) = a² + a²(3 + 2$\sqrt{2}$) = a²(4 + 2$\sqrt{2}$).

d₃ = a$\sqrt{4+2\sqrt{2}}$.