Відповіді до вправ підручника: 21.79

21.79. У трикутнику ABC відомо, що AB = BC = 13 см, AC = 10 см.

До кола, вписаного в цей трикутник, проведено дотичну, яка

паралельна основі AC та перетинає сторони AB і BC у точках M і K відповідно. Обчисліть площу трикутника MBK.

∆АВС: АВ = ВС = 13 см; АС = 10 см; ВК $\perp$ АС, ВК — висота ∆ABC.

S_∆ABC = $\frac{1}{2}$BK • AC.

∆АВК. ВК² = АВ² – АК² = 13² – 5² = 144;

ВК = 12 см.

S_∆ABC = $\frac{1}{2}$ • 12 • 10 = 60 (см²).

В цей трикутник вписано коло, МК — дотична до кола. МК $\parallel$ АС. РК — діаметр кола.

S_∆ABC = $\frac{1}{2}$P_∆ABC • r, де P_∆ABC = 13 + 13 + 10 = 36 (см), r – радіус вписаного кола, r = ОР = ОК;

r = $\frac{{2S}_{∆\mathrm{ABC}}}{P_{∆\mathrm{ABC}}}$ = $\frac{2•60}{36}$ = $\frac{10}{3}$ (см), PK – діаметр кола; PK = 2r = $\frac{20}{3}$ (см).

BP = BK – PK = 12 – $\frac{20}{3}$ = $\frac{36-20}{3}$ = $\frac{16}{3}$ (см).

∆MBK ~ ∆ABC (MK $\parallel$ AC).

k = $\frac{\mathrm{BK}}{\mathrm{BP}}$ = 12 : $\frac{16}{3}$ = $\frac{9}{4}$; k² = $\frac{81}{16}$;

S_∆MBK = 60 : k² = 60 • $\frac{16}{81}$ = $\frac{320}{27}$ (см²).

Відповідь: $\frac{320}{27}$ см².