Відповіді до вправ підручника: 21.7

21.7. У трапеції ABCD відомо, що BC ∥ AD, AD = 8 см, CD = 4$\sqrt{3}$ см.

Коло, яке проходить через точки A, B і C, перетинає пряму AD у точці K, ∠AKB = 60°. Знайдіть відрізок BK.

АВСD — трапеція; ВС ∥ АD; АD = 8 см; СD = 4$\sqrt{3}$ см. Коло проходить через точки А, В, С, перетинає пряму АD у точці К. ∠AKB = 60°.

Трапеція АВСК є вписаною в коло, отже АВ = СК, ∠КАС = ∠АКВ = 60°, трапеція АВСК є рівнобедрена, тому АС = ВК.

∆АСD. За теоремою синусів:

$\frac{\mathrm{CD}}{\sin \angle \mathrm{CAD}}$ = $\frac{\mathrm{AD}}{\sin \angle C}$; $\frac{4\sqrt{3}}{\sin 60°}$ = $\frac{8}{\sin \angle C}$;

sin$\angle$C = $\frac{8•\sin 60°}{4\sqrt{3}}$ = $\frac{8•\frac{\sqrt{3}}{2}}{4\sqrt{3}}$ = 1; $\angle$C = 90°.

∆ACD — прямокутний. За теоремою Піфагора; АС² = AO² – CD² = 64 – 48 = 16; AC = 4 см.

Відповідь: ВК = 4 см.