Відповіді до вправ підручника: 21.2

21.2. У паралелограмі ABCD відомо, що AB = 2 см, AD = 4 см, ∠BAD = 60°. Знайдіть косинус кута між прямими AC і BD.

ABCD — паралелограм. АВ = 2 см; AD = 4 см; ∠BAD = 60°.

∆ABD, BD² = АВ² + AD² – 2АВ • D • cos60° = 4 + 16 + 2 • 2 • 4 • $\frac{1}{2}$ = 12; BD = $\sqrt{12}$ = 2$\sqrt{3}$ (см).

∆АВС: АС² = АВ² + ВС² + 2АВ • ВС • cos∠B = 4 + 16 + 2 • 2 • 4 • $\frac{1}{2}$ = 20 + 8 = 28; АС = $\sqrt{28}$ = 2$\sqrt{7}$ (см).

∆COD, α — кут між прямими АС і BD.

CD² = ОС² + OD² – 2OС • OD • cos α;

4 = ($\sqrt{7}$)² + ($\sqrt{3}$)² – 2 • $\sqrt{7}$ • $\sqrt{3}$ • cos α;

2$\sqrt{7}$ • $\sqrt{3}$ cos α = 7 + 3 – 4;

cos α = $\frac{6}{2\sqrt{21}}$ = $\frac{3}{\sqrt{21}}$.