§ 21: 21.84

21.84. У трикутнику ABC відомо, що AB = BC = 13 см, AC = 10 см.

До кола, вписаного в цей трикутник, проведено дотичну, яка

паралельна основі AC та перетинає сторони AB і BC у точках M

і K відповідно. Обчисліть площу трикутника MBK.

∆АВС, АВ = ВС = 13 см; АС = 10 см; ВК ⊥ АС, ВК — висота ∆ABC.

S_∆ABC = 12BK • AC.

∆АВК. ВК² = АВ² – АК² = 13² – 5² = 144;

ВК = 12 см. S_∆ABC = 12 • 12 • 10 = 60 (см²).

В цей трикутник вписано коло, МК — дотична до кола. МК ∥ АС.

РК — діаметр кола.

S_∆ABC = 12P_∆ABC • r, де P_∆ABC = 13 + 13 + 10 = 36 (см), r – радіус вписаного кола, r = ОР = ОК;

r = 2S∆ABCP∆ABC = 2•6036 = 103 (см), PK – діаметр кола; PK = 2r = 203 (см).

BP = BK – PK = 12 – 203 = 36-203 = 163 (см).

∆MBK ~ ∆ABC (MK ∥ AC).

k = BKBP = 12 : 163 = 94; k² = 8116;

S_∆MBK = 60 : k² = 60 • 1681 = 32027 (см²).

Відповідь: 32027 см².