§ 21: 21.85

21.85. Знайдіть площу трикутника A₂B₂C₂, якщо площа трикутника ABC дорівнює 1 см².

∆A₂В₂С₂ є образом ∆АВС при гомотетії з коефіцієнтом k = –54 і центом гомотетії у точці перетину медіан ∆АВС.

S∆A2B2C2S∆ABC = k² = 2516;

S_∆A2B2C2 = S_∆ABC • k² = 1 • 2516 = 2516 (см²).

Відповідь: 2516 см².

Завдання № 1 «перевірте себе» тестовій формі.

1. Яка з рівностей є правильною?

Г.

2. Яка з нерівностей є правильною?

В. sin 100° = sin(180° – 80°) = sin 80° > 0;

cos 110° = cos(180° – 70°) = –cos 70° < 0; sin 100° cos 110° < 0.

3. Знайдіть третю сторону трикутника, якщо дві його сторони до­

рівнюють 3 см і 8 см, а кут між ними дорівнює 120°.

А. За теоремою косинусів маємо:

AC² = AB² + BC² – 2AB • BC • cos ∠B;

cos 120° = cos(180° – 60°) = –cos 60° = –12;

AC² = 3² + 8² – 8 • 3 • 8 • (–12) – 9 + 64 + 24 = 97;

AC = 97 см.

4. Яким є кут, що лежить проти більшої сторони трикутника зі

сторонами 4 см, 7 см і 9 см?

Б. За наслідком з теореми косинусів маємо:

AC² > AB² + BC². 9² > 4² + 7²; 81 > 16 + 49;

81 > 65; ∠B – тупий.

5. Кут між двома сторонами трикутника, одна з яких на 10 см

більша за другу, дорівнює 60°, а третя сторона дорівнює 14 см.

Яка довжина найбільшої сторони трикутника?

A. За теоремою косинусів маємо:

AC² = AB² + BC² – 2AB • BC • cos ∠B;

14² = x² + (x + 10)² – 2 • x • (x + 10) • 12;

196 = x² + x² + 20x + 100 – x² – 10x;

x² + 10x – 96 = 0; D = 100 + 384 = 484 = 22²;

x₁ = -10-222 < 0; x₂ = -10+222 = 122 = 6;

BC = 10 + 6 = 16 (см).

6. Діагоналі паралелограма дорівнюють 17 см і 19 см, а його сторо­

ни відносяться як 2 : 3. Чому дорівнює периметр паралелограма?

Г. AB : BC = 2 : 3. AB = 2x (см); BC = 3x (см).

За наслідком з теореми косинусів для паралелограма маємо (AB² +

+ BC²) • 2 = AC² + BD².

2 • (2x)² + (3x)² = 17² + 19²; (4x² + 9x²) • 2 = 289 + 361; (13x²) •

• 2 = 650; x² = 650 : 26; x² = 25; x = 5; AB = 10 см; BC = 15 см;

P = 2(a + b) = (10 + 15) • 2 = 50 см.

7. У трикутнику ABC відомо, що AB = 8 см, ∠C = 30°, ∠A = 45°.

Знайдіть сторону BC.

A. За теоремою синусів маємо:

ABsin∠C = BCsin∠A; 8•21 = BC•22; BC = 1622 = 82 (см);

sin 120° = sin(180° – 60°) = sin 60° = 32.

8. Чому дорівнює відношення AC : BC сторін трикутника ABC,

якщо ∠A = 120°, ∠B = 30°?

B. За теоремою синусів маємо:

ACsin∠B = BCsin∠A; ACBC = sin∠Bsin∠A; ACBC = sin30°sin60° = 12 • 32 = 1•22• 3 = 13 = 33.

9. У трикутнику ABC відомо, що AB = 42 см, ∠C = 135°. Знайдіть

діаметр кола, описаного навколо трикутника.

Б. За наслідком з теореми синусів маємо:

ABsin∠C = 2R = D; D = 42sin135°;

sin 135° = sin(180° – 45°) = sin 45° = 22;

42 : 22 = D; D = 42•22 = 8 (см).

10. Якого найбільшого значення може набувати площа трикутника

зі сторонами 8 см і 12 см?

B. S = 12ab sin α;

S = 12 8 • 12⁶ • sin α = 48, якщо ∠B = 90°.

11. Знайдіть суму радіусів вписаного та описаного кіл трикутника

зі сторонами 25 см, 33 см і 52 см.

Г. За формулою Герона маємо: p = 12(a + b + c);

p = 25+33+522 = 1102 = 55 (см). S = pp-ap-b(p-c);

S =5555-5255-33(55-25) = 55 •3 •22 •30 =

= 11 •5 •3 •11 •2 •3 •2 •5 = 11 • 5 • 3 • 2 = 330 (см²).

S = p • r; 330 = 55 • r; r = 330 : 55 = 6 (см).

S = abc4R; R = abc4S; R = 25 •33 •524 •330 = 5 •132 = 652 = 32,5 (см);

R + r = 32,5 + 6 = 38,5 (см).

12. Дві сторони трикутника дорівнюють 11 см і 23 см, а медіана,

проведена до третьої сторони, — 10 см. Знайдіть невідому сторону трикутника.

Б. Продовжимо медіану ВЕ за точку Е (ВЕ = ED = 10 см), BD = 20 см. Отримали ABCD – паралелограм. За наслідком з теореми косинусів для паралелограма маємо: 2(a² + b²) = d12 + d22; (11² + 23²) • 2 =

= 20² + AC²; (121 + 529) • 2 = 400 + AC²; 1300 – 400 = AC2; AC2 =

= 900; AC = 30 см.

Завдання № 2 «перевірте себе» тестовій формі.

1. Знайдіть кількість сторін правильного многокутника, якщо його

кут дорівнює 170°.

B. ∠1 = 180°(n-2)n = 170°; 180°n – 360° = 170°n; 180°n – 170°n =

= 360°; 10°n = 360°; n = 36.

2. Чому дорівнює центральний кут правильного десятикутника?

Б. 360°10 = 36°.

3. Який найбільший центральний кут може мати правильний

многокутник?

Г. R₆ = a; r₃ = R₆;

r₃ = x36; a = x36; x = 6a3 = 6a33 = 2a3.

4. У коло вписано правильний шестикутник, сторона якого дорівнює a. Знайдіть сторону трикутника, описаного навколо цього кола.

Г.

5. Чому дорівнює радіус кола, вписаного в правильний шестикутник, менша діагональ якого дорівнює 12 см?

A. ∠B = 180°(n-2)n; n = 6;

180° •(6-2)6 = 30° • 4 = 120°.

∆ABC. За теоремою косинусів маємо:

АС² = АВ² + ВС² – 2АВ • ВС • cos ∠B;

AB = BC = x; cos 120° = –12;

12² = x² + x² – 2x² • (–12); 144 = 3x²; x² = 48;

x = 43; r = x32 = 43 • 32 = 2 • 3 = 6 (см).

6. Знайдіть довжину дуги кола, градусна міра якої дорівнює 207°,

якщо радіус кола — 4 см.

Г. l = 2πR360° • α; R = 4; α = 207;

l = 2π •4 •207°360° = 23π5 = 4,6π (см).

7. Яку частину площі круга становить площа сектора, центральний

кут якого дорівнює 140°?

Г. S = πR²;

S_{сектора} = πR2360° • α;

πR2•140°360° : (πR²) = πR2 •1436 • πR2 = 718.

8. Вписаний у коло кут, який дорівнює 40°, спирається на дугу

завдовжки 8 см. Яка довжина даного кола?

B. ∠AOC = 2∠ABC (теорема по вписані кути);

∠АОС = 2 • 40° = 80° = α.

l = 2πR360° • α; 8 = 2πR •80°360°; 4πR = 72;

πR = 724 = 18 (см).

С = 2πR = 2 • 18 = 36 (см).

9. Якою має бути довжина хорди кола, радіус якого дорівнює R,

щоб довжини дуг, на які кінці цієї хорди ділять коло, відносилися як 2 : 1?

Г. BO = AO = R; ∪ADB : ∪ACB = 1 : 2.

∪ADB = x; ∪ACB = 2x; C = 3x = 2πR.

x = 2πR3; ∪ADB = 2πR3 = 2πR360° • α; α = 120°.

∆AOB – рівнобедрений. За теоремою косинусів маємо:

AB² = AO² + OB² – 2AO • OB • cos α;

AB² = R² + R² – 2 • R² • (–12) = 3R²;

AB = R3.

10. На рисунку зображено вписаний у коло трикутник ABC, ∠A =

= 30°, BC = а. Чому дорівнює площа сегмента, основа якого

стягує дугу BAC.

Б. ∠BOC = 2∠BAC (за теоремою про вписані кути); ∠BOС = 60°.

∆BOC – правильний, BO = OC = BC = a.

S_{сегмента} = S_{сектора} – S_∆BOC.

S_{сектора} = πR2360° • α = πa2360° • 60° = πa26;

S_∆BOC = a234;

S_{сегмента} = πa26 – a234 = 2πa2- a2312 = a2(2π-33)12.

11. У трикутнику ABC відомо, що ∠A = 20°, ∠C = 30°, AC = 14 см.

Коло із центром у точці A дотикається до прямої BC. Знайдіть

довжину дуги цього кола, яка належить трикутнику ABC.

Б. AN ⊥ BC (N – точка дотику); AN = R. ∆ANC – прямокутний (∠N =

= 90°); AN = R. За властивістю катета, що лежить навпроти кута 30°, маємо: AN = 12AC;

AN = 14 : 2 = 7 (см).

∪PNK = 2πR360° • α; l = 2π •7360° • 20° = 7π9 (см).

12. Радіус кола, описаного навколо правильного многокутника,

дорівнює 63 см, а радіус вписаного в нього кола — 9 см. Скільки сторін має многокутник?

A. R = 63; r = 9 см.

R = a2sin180°n = 63; r = a2tg180°n = 9; 180°n = α;

a2sinα = 63; a2 tg α = 9; a •cosα2sinα = (a2sinα) • cos α = 9;

63 cos α = 9; cos α = 963 = 323 = 336 = 32; α = 30°; 180°n = 30°;

n = 6.

Завдання № 3 «перевірте себе» тестовій формі.

1. Які координати має середина відрізка A B , якщо A (–6; 7),

B (4; –9)?

Б. А(–6; 7); В(4; –9). С – середина АВ: х = x1+ x22; y = y1+ y22;

x = -6+42 = -22= –1; y = 7-92 = -22 = –1; C(–1; –1).

2. Чому дорівнює відстань між точками C (8; –11) і D (2; –3)?

Б. C(8; –11); D(2; –3). Знайти: CD. CD = (x2- x1)2+(y2- y1)2;

CD = (8-2)2+ (-11+3)2 = 62+ (-8)2 = 36+64 = 100 =

= 10.

3. Які координати має центр кола (х – 5)² + (у + 9)² = 16?

A. (x – 5)² + (y + 9)² = 16; O(5; –9).

4. Центром якого з даних кіл є початок координат?

4. B.

5. Знайдіть радіус кола, діаметром якого є відрізок MK, якщо

M (14; 12) і K (–10; 2).

Б. MK = D; M(14; 12); K(–10; 2); O – середина МК.

x = x1+ x22; y = y1+ y22; x = 14-102 = 42 = 2; y = 12+22 = 142 = 7;

O(2; 7).

R = 12MN; R = (x2- x1)2+ (y2- y1)2;

R = (-10-2)2+ (2-7)2 = (-12)2+ (-5)2 = 144+25 =

= 169 = 13.

6. Які координати точки перетину прямої 5х – 3у = 15 з віссю

абсцис?

Г. 5x – 3y = 15; Ox: y = 0; 5x = 15; x = 3; A(3; 0).

7. Чотирикутник ABCD — паралелограм. Задано три його вершини:

B (–2; 3), C (10; 9), D (7; 0). Знайдіть координати вершини A.

B. B(–2; 3); C(10; 9); D(7; 0). ABCD – паралелограм.

О₁ – середина BD:

x = x1+ x22; y = y1+ y22; x = -2+72 = 52; y = 3+02 = 32;

O₁ – середина АС:

52 = 10+ x22; 10 + x₂ = 5; x₂ = 5 – 10 = –5; 32 = 9+ y22; 9 + y₂ = 3;

y₂ = 3 – 9 = –6; A(–5; –6).

8. Які координати має точка осі ординат, рівновіддалена від точок

A (–3; 4) і B (1; 8)?

Г. А(–3; 4); B(1; 8); C ∈ Oy; AC = BC; C(0; y);

AC = (x2- x1)2+ (y2- y1)2;

AC = (0+3)2+ (y-4)2 = 9+ (y-4)2 = 9+y2- 8y+16 =

= y2- 8y+25;

BC = (0-1)2+ (y-8)2 = 1+(y-8)2 = 1+y2- 16y+64 =

= y2- 16y+65;

(y2- 8y+25)² = (y2- 16y+65)²;

y² – 8y + 25 = y² – 16y + 65;

–8y + 16y = 65 – 25; 8y = 40; y = 5; C(0; 5).

9. Знайдіть абсцису точки прямої AB, ордината якої дорівнює 2,

якщо A (–7; 4), B (9; 12).

Б. А(–7; 4); В(9; 12). Пряма АВ: y = kx + b;

4 = –7k + b, _

12 = 9k + b;

–8 = –16k; k = 12; y = 12x + b; 4 = –72 + b; b = 4 + 72 = 4 + 3,5 = 7,5;

y = 0,5x + 7,5; y = 2; 0,5x + 7,5 = 2; 0,5x = 2 – 7,5; 0,5x = –5,5;

x = –5,5 : 0,5; x = –11. C(–11; 2).

10. Чому дорівнює відстань між точкою перетину прямих x – у = 4

і x + 3у = 12 та точкою M (1; 7)?

B. x – y = 4, _

x + 3y = 12;

–y – 3y = 4 – 12; –4y = –8; y = 2; x – 2 = 4; x = 4 + 2 = 6.

A(6; 2); AM = (x2- x1)2+ (y2- y1)2;

AM = (6-1)2+ (2-7)2 = 52+ (-5)2 = 25+25 = 25 •2 =

= 52.

11. Яким є рівняння прямої, що проходить через точку P (–1; 6) паралельно прямій у = 2х – 5?

Б. y = 2x – 5; y = kx + b; y = 2x + b; P(–1; 6); 6 = –2 + b; b = 6 +

+ 2 = 8;

12. Чому дорівнює радіус кола х² + у² + 14у – 12x + 78 = 0?

A. x² + y² + 14y – 12x + 78 = 0;

(x² – 12x + 36) + (y² + 14y + 49) + 78 – 36 – 49 = 0;

(x – 6)² + (y – 7)² – 7 = 0; (x – 6)² + (y – 7)² = 7; R = 7.

Завдання № 4 «перевірте себе» тестовій формі.

1. Яка з наведених величин є векторною?

в).

2. Чому дорівнює модуль вектора, початок і кінець якого збігаються?

г).

3. Дано паралелограм ABCD. Яка з даних рівностей є правильною?

а).

4. Відомо, що AM = MB. Яке з даних тверджень є правильним?

в).

5. Дано точки A (–3; 4) і B (1; –8). Точка M — середина відрізка AB. Знайдіть координати вектора AM.

а) А(–3; 4), В(1; –8), М – середина АВ. х_М = -3+12 = –1;

у_М = 4+(-8)2 = –2; АМ (–1 – (–3); –2 – 4) = (2; -6); М(–1; –2).

6. При якому значенні x вектори a (x; 2) і b (–4; 8) колінеарні?

a). a(x; 2), b(–4; 8), a ∥ b, тоді x-4 = 28; x = -4 •28 = –1.

7. Яка з даних рівностей є правильною?

б).

8. Дано вектор a (3; –2). Який із векторів дорівнює вектору 3 a?

г).

9. Точка M — середина сторони BC трикутника ABC. Яка з даних

рівностей є правильною?

в).

10. Знайдіть скалярний добуток векторів a (2; – 3) і b (3; –2).

а).

11. При якому значенні x вектори a (2x; –3) і b (1; 4) перпендику­

лярні?

г) a(2x; –3), b(1; 4), a ⊥ b, якщо ab = 0. 2x • 1 + (–3) • 4 = 0; 2x = 12; x = 6.

12. Знайдіть косинус кута між векторами a (5; –12) і b (–3; 4).

в). a(5; –12), b(–3; 4).

cos α = a ba|b|; a • b = 5 • (–3) + (–12) • 4 = –15 + (–48) = –63;

|a| = 52+ (-12)2 = 25+144 = 169 = 13;

|b| = (-3)2+ 42 = 9+16 = 25 = 5; cos α = -6313 •5 = -6365.

Завдання № 5 «перевірте себе» тестовій формі.

1. Який із відрізків, зображених на рисунку, може бути образом

відрізка AB при русі?

б)

2. Укажіть рівняння образу прямої y = 2х при паралельному пере­

несенні на вектор a (0; 1).

а)

3. Яка з прямих, зображених на рисунку, може бути образом пря­

мої при паралельному перенесенні?

г)

4. Яка з указаних фігур має тільки одну вісь симетрії?

в)

5. При яких значеннях x та y точки A (–1; y) і B (x; 6) симетричні

відносно осі абсцис?

в)

6. Яка з указаних фігур має центр симетрії?

б)

7. Яка з указаних фігур має центр симетрії та вісь симетрії?

а)

8. При яких значеннях x та y точки A (x; 7) і B (–4; y) симетричні

відносно початку координат?

а)

9. Точка O — центр правильного восьмикутника ABCDEFKM

(див. рисунок). Укажіть образ сторони EF при повороті навколо

точки O за годинниковою стрілкою на кут 135°.

в)

10. Продовження бічних сторін AB і CD трапеції ABCD перетина­

ються в точці M (див. рисунок). Укажіть коефіцієнт гомотетії із

центром у точці M, при якій відрізок BC є образом відрізка AD.

в)

11. Точка M (6; –3) — образ точки N (2; 1) при гомотетії з коефі­

цієнтом – 13. Укажіть координати центра гомотетії.

а)

12. Пряма, паралельна стороні AB трикутника ABC, перетинає його

сторону AC у точці E, а сторону BC — у точці F. Знайдіть площу

трикутника CEF, якщо AE : EC = 3 : 2, а площа трикутника

ABC дорівнює 75 см².

г).