§ 16: 16.38

16.38. У трикутнику ABC відомо, що ∠C = 90°, AC = 1, BC = 2.

Доведіть, що його медіани AK і CM перпендикулярні.

∆ABC; AC = 1; BC = 2; MC i AK – медіани.

Нехай CA = a, CB = b, CM = 12 a + 12 b.

AK = –a + 12 b.

CM = 12AB = 12 2+1 = 32;

a • b = 0, ∠C = 90°; CM• AK= (12 a + 12 b) = –12 a² + 14 a • b – 12 a • b +

+ 14 b² = –12 • 1 + 0 + 14 • (2)² = –12 + 12 = 0.

CM • AK = 0, отже, кут між медіанами АК і СМ дорівнює 90°, АК ⊥ СМ.