Вправи для повторення розділу 5: 66

66. Менша діагональ одного правильного шестикутника дорівнює

стороні другого. Чому дорівнює відношення площ цих шестикутників?

АВСDЕF — правильний шестикутник зі стороною а. АС — сторона другого правильного шестикутника, подібного даному. Площі цих шестикутників відносяться як квадрати їх сторін:

$\frac{S_1}{S_2}$ = ($\frac{\mathrm{AB}}{\mathrm{AC}}$)². Знайдемо АС з ∆АВС.

∠B = $\frac{180°(6-2)}{6}$ = $\frac{180°•4}{6}$ = 120°.

∠ВАС = ∠ВСА = (180° – ∠В) : 2 = (180° – 120°) : 2 = 30°.

За теоремою синусів $\frac{\mathrm{AB}}{\sin \mathrm{BCA}}$= $\frac{\mathrm{AC}}{\sin B}$; $\frac{a}{\sin 30°}$ = $\frac{\mathrm{AC}}{\sin 120°}$;

2a = $\frac{2\mathrm{AC}}{\sqrt{3}}$; AC = a$\sqrt{3}$. Отже, $\frac{S_1}{S_2}$ = $\frac{a^2}{{\left(a\sqrt{3}\right)}^2}$ = $\frac{1}{3}$.

Відповідь: 1 : 3.