Вправи для повторення розділу 5: 46

46. Вершини трикутника ABC мають координати A(0; 4), B(3; 0), С(3; 4). Після паралельного перенесення центр вписаного у трикутник кола перейшов у початок координат. У яку точку перейшов центр кола, описаного навколо трикутника?

AB = $\sqrt{{(3-0)}^2+{(0-4)}^2}$ = $\sqrt{3^2+4^2}$ = $\sqrt{9+16}$ = $\sqrt{25}$ = 5.

BC = $\sqrt{{(3-3)}^2+{(4-0)}^2}$ = $\sqrt{0^2+4^2}$ = 4.

AC = $\sqrt{{(3-0)}^2+{(4-4)}^2}$ = $\sqrt{3^2+0^2}$ = 3.

Оскільки 5² = 4² + З², тобто АВ² = ВС² + АС², то ∆АВС – прямокутний.

Знайдемо радіус вписаного кола з формули S = рr, r = $\frac{S}{p}$.

S_∆ABC = $\frac{1}{2}$АС • ВС = $\frac{1}{2}$ • 4 • 3 = 6; p = $\frac{5+4+3}{2}$ = 6. Отже, r = $\frac{6}{6}$ = 1.

Оскільки катети трикутника паралельні осям координат, тобто лежать на прямих у = 4 і х = 3, а радіуси вписаного кола, проведені в точку дотику, перпендикулярні катетам, і r = 1, то центр вписаного кола лежить на перетині прямих у = 4 – 1, у = 3 та x = 3 – 1, х = 2. Тоді O₁(2; 3). При паралельному перенесенні ця точка за умовою переходить в початок координат. 0 = 2 + а, а = –2; 0 = 3 + b,

b = –3. Формули паралельного перенесення: х’ = х – 2, у’ = у – 3. Центр описаного кола — це середина гіпотенузи АВ.

Його координати: $\frac{0+3}{2}$ = 1,5; $\frac{4+0}{2}$ = 2, О₂(1,5; 2). При даному паралельному перенесенні він перейде в точку з координатами

x’ = 1,5 – 2 = –0,5; y’ = 2 – 3 = –1.

Відповідь: (–0,5; –1).