Вправи для повторення розділу 3: 38 (1)

38. Розв’яжіть трикутник ABC, якщо:

1) За формулою медіани СМ = $\frac{1}{2}$ $\sqrt{{2\mathrm{ВС}}^2+{2\mathrm{АС}}^2-{\mathrm{АВ}}^2}$;

4СМ² = 2ВС² + 2АС² – АВ², звідки АВ² = 2ВС² + 2АС² – 4СМ²;

АВ = $\sqrt{{2•10}^2+{2•15}^2-{4•11}^2}$ = $\sqrt{200+450-484}$ = $\sqrt{166}$ (см).

З ∆АВС: сos C = $\frac{{\mathrm{BC}}^2+{\mathrm{AC}}^2-{\mathrm{AB}}^2}{2\mathrm{BC}•\mathrm{AC}}$ = $\frac{{10}^2+{15}^2-(\sqrt{166}{)}^2}{2•10•15}$ = $\frac{100+225-166}{300}$ = 0,53; ∠C ≈ 58°21’.

cos B = $\frac{{\mathrm{AB}}^2+{\mathrm{BC}}^2-{\mathrm{AC}}^2}{2\mathrm{AB}•\mathrm{BC}}$ = $\frac{166+100-225}{2•\sqrt{166}•10}$ ≈ $\frac{41}{\mathrm{257,7}}$ ≈ 0,1591;

∠B ≈ 80°50’. ∠A ≈ 180° – (58°2’ + 80°50’) ≈ 41°8’.

Відповідь: АВ = $\sqrt{166}$ см, ∠С ≈ 58°2’, ∠B ≈ 80°5’, ∠A ≈ 41°8’.

2) З ∆АHМ HM = $\sqrt{{\mathrm{AM}}^2-{\mathrm{AH}}^2}$ = $\sqrt{{10}^2-6^2}$ = $\sqrt{100-36}$ = $\sqrt{64}$ = 8 (см).

М — середина ВС, СМ = МВ = 12 : 2 = 6 см. Відстань між основами висоти та медіани більше ніж половина сторони ВС, то ∆АВС — тупокутний.

У ∆АВН: ВН = НМ + МВ = 8 + 6 = 14 (см).

АВ = $\sqrt{{\mathrm{AH}}^2+{\mathrm{HB}}^2}$ = $\sqrt{6^2+{14}^2}$ = $\sqrt{36+196}$ = $\sqrt{232}$ = 2$\sqrt{58}$ (см).

З ∆АНС: АС = $\sqrt{{\mathrm{AH}}^2+{\mathrm{HC}}^2}$ = $\sqrt{6^2+{(8-6)}^2}$ = $\sqrt{36+4}$= $\sqrt{40}$ = 2$\sqrt{10}$ (см).

З ∆АВС: cos АСВ = $\frac{{AС}^2+{\mathrm{BC}}^2-{\mathrm{AB}}^2}{2\mathrm{AC}•\mathrm{BC}}$ = $\frac{40+144-232}{2•2\sqrt{10}•12}$ ≈ $\frac{-48}{\mathrm{151,79}}$ ≈ –0,3162;

∠ACB ≈ 180° – 71°34’ ≈ 108°26’.

З ∆ABH: tg B = $\frac{\mathrm{AH}}{\mathrm{BH}}$ = $\frac{6}{14}$ ≈ 0,4286; ∠B ≈ 23°12’.

∠A ≈ 180° – (∠B + ∠C) ≈ 180° – (23°12’ + 108°26’) ≈ 48°22’.

Відповідь: АС = 2$\sqrt{10}$ см, АВ = 2$\sqrt{58}$ см, ∠C ≈ 108°26’, ∠B ≈ 23°12’,

∠A ≈ 48°22’.