Вправи для повторення розділу 3: 36 (1-2)

36. Розв’яжіть ∆ABC, якщо. Невідомі сторони знайдіть із точністю до сотих сантиметра, а невідомі кути – із точністю до мінути (у разі використання калькулятора) або з точністю до градуса (у разі використання таблиць).

1) AC² = AB² + BC² – 2AB • BC cos В. Нехай BC = x cм.

8² = 7² + x² – 2 • 7 • x • cos 50°; 64 = 49 + x² – 14x • 0,766;

x² – 10,724х – 15 = 0; D = 10,724² – 4 • 15 ≈ 114,5 – 60 ≈ 54,5;

x ≈ $\frac{\mathrm{10,7}-\sqrt{\mathrm{54,5}}}{2}$ ≈ $\frac{\mathrm{10,7}-\mathrm{7,4}}{2}$ ≈ 1,65 або x ≈ $\frac{\mathrm{10,7}+\mathrm{7,4}}{2}$ ≈ 9,05.

Отже, ВС ≈ 1,65 см або ВС ≈ 9,05 см.

$\frac{\mathrm{AC}}{\sin 50°}$ = $\frac{\mathrm{BC}}{\sin A}$; sin A = $\frac{\mathrm{BC}•\sin 50°}{\mathrm{AC}}$.

Якщо BC ≈ 1,65 см, то sin A ≈ $\frac{\mathrm{1,65}•\mathrm{0,766}}{8}$ ≈ 0,1579; ∠A ≈ 9°;

∠C ≈ 180° – (50° + 9°) ≈ 121°.

Якщо BC ≈ 9,05 см, то sin A ≈ $\frac{\mathrm{9,05}•\mathrm{0,766}}{8}$ ≈ 0,8665; ∠A ≈ 60°;

∠C ≈ 180° – (50° + 60°) ≈ 70°.

Відповідь: BC ≈ 1,65 cм, ∠A ≈ 9°, ∠C = 121° або BC ≈ 9,05 cм,

∠A ≈ 60°, ∠C ≈ 70°.

2) $\frac{\mathrm{BC}}{\sin 110°}$ = $\frac{\mathrm{AB}}{\sin C}$; sin C = $\frac{\mathrm{AB}•\sin 110°}{\mathrm{BC}}$ ≈ $\frac{4•\mathrm{0,9397}}{5}$ ≈ 0,7518;

∠C ≈ 49°.

Оскільки у трикутнику за умовою вже є тупий кут, то значення кута С одне.

∠B ≈ 180° – (∠A + ∠C) ≈ 180° – (110° + 49°) ≈ 21°.

$\frac{\mathrm{BC}}{\sin 110°}$ = $\frac{\mathrm{AC}}{\sin B}$; AC = $\frac{\mathrm{BC}•\sin 21°}{\sin 110°}$ ≈ $\frac{5•\mathrm{0,3584}}{\mathrm{0,9397}}$ ≈ 1,91 (см).

Відповідь: ∠C ≈ 49°, ∠В ≈ 21°, АC = ≈ 1,91 cм.

3) $\frac{\mathrm{BC}}{\sin A}$ = $\frac{\mathrm{AC}}{\sin B}$; sin B = $\frac{\mathrm{AC}•\sin A}{\mathrm{BC}}$ = $\frac{4•\sin 35°}{2}$ ≈ 2 • 0,5736 ≈ 1,147.

Але |sin B| ≤ 1, отже, задача не має розв’язків.

Відповідь: розв’язків немає.

4) AB² = BC² + AC² – 2BC • AC • cos C. Нехай AC = х см, тоді 7² = 8² + х² – 2 • 8 • x • $\frac{1}{2}$; х² – 8х + 15 = 0; х = 3 або х = 5.

Отже, АС = 3 см або АС = 5 см.

Якщо АС = 3 см, то cos B = $\frac{{\mathrm{AB}}^2+{\mathrm{BC}}^2-{\mathrm{AC}}^2}{2\mathrm{AB}•\mathrm{BC}}$ = $\frac{7^2+8^2-3^2}{2•7•8}$ ≈ $\frac{49+64-9}{14•8}$ ≈ $\frac{104}{112}$ ≈ 0,9286; ∠B ≈ 22°, ∠A ≈ 180° – (22° + 60°) ≈ 98°.

Якщо АС = 5 см, то cos B = $\frac{7^2+8^2-5^2}{2•7•8}$ ≈ $\frac{49+64-25}{112}$ ≈ $\frac{88}{112}$ ≈ 0,7857;

∠B ≈ 38°; ∠C ≈ 180° – (38° + 60°) ≈ 82°.

Відповідь: АС = 3 см, ∠В ≈ 22°, ∠С ≈ 98° або АС = 5 см, ∠В ≈ 22°,

∠С ≈ 82°.