Вправи для повторення розділу 3: 40

40. Три дороги утворюють трикутник ABC, у якого ∠A = 20°,

∠B = 145°, причому AB – шосе, AC і BC – ґрунтові дороги. Швидкість по шосе вдвічі більша за швидкість по ґрунтовій дорозі. Водій хоче якнайшвидше потрапити з пункту А в пункт C. Який маршрут має обрати водій?

Нехай ВС = х. ∠АСВ = 180° – (145° + 20°) = 15°. За теоремою синусів $\frac{\mathrm{AC}}{\sin 145°}$ = $\frac{\mathrm{BC}}{\sin 20°}$; AC = $\frac{\sin 145°}{\sin 20°}$ = $\frac{x•\mathrm{0,5736}}{\mathrm{0,342}}$ ≈ 1,68x;

$\frac{\mathrm{AB}}{\sin 15°}$ = $\frac{\mathrm{BC}}{\sin 20°}$; AB = BC • $\frac{\sin 15°}{\sin 20°}$ = $\frac{x•\mathrm{0,2588}}{\mathrm{0,342}}$ ≈ 0,76x.

Нехай швидкість машини на ґрунтовій дорозі у км/год, тоді на шосе – 2у км/год. На шлях АВС водій витратить $\frac{\mathrm{0,76}х}{2у}$ + $\frac{х}{у}$ ≈ 1,38$\frac{х}{у}$ год, а на шлях АС – 1,68$\frac{х}{у}$ год. Отже, водій має обрати маршрут АВС, оскільки 1,38 < 1,68.

Відповідь: маршрут АВС.