Відповіді на вправи § 25 - 33: 33.17

33.17. Гіпотенуза прямокутного трикутника дорівнює c, а радіус вписаного кола – r. Знайдіть площу трикутника.

Дано: $∆$АВС ($\angle$С = 90$°$); АВ = с; ОК = r.

Знайти: S_ABC.

Розв’язання

r = $\frac{a+b-c}{2}$; a + b – c = 2r; a + b = 2r + c;

$∆$ABC ($\angle$C = 90$°$): a² + b² = c²;

(a + b)² = a² + 2ab + b²;

(2r + c)² = c² + 2ab;

4r² + 4rc + c² = c² + 2ab;

4r² + 4rc = 2ab |: 2;

2r² + 2rc = ab;

ab = 2r(r + c) ;

S = $\frac{1}{2}$ab = $\frac{1}{2}$ • 2r(r + c) = r² + rc.

Відповідь: r² + rc.