Відповіді на вправи § 25 - 33: 31.16

31.16. Медіани трикутника, довжини яких становлять 15 см і 18 см,

взаємно перпендикулярні. Знайдіть площу трикутника.

Дано: $∆$АВС; ВМ, АК – медіани; ВМ = 15 см; АК = 18 см;

ВМ $\perp$ АК; ВМ Х АК = 0.

Знайти: S_ABC.

Розв’язання

За властивістю медіан трикутника:

ВО : ОМ = 2 : 1; АО : ОК = 2 : 1.

ВО = $\frac{2}{3}$ВМ = $\frac{2}{3}$ • 15 = 10 (см).

АО = $\frac{2}{3}$АК = $\frac{2}{3}$ • 18 = 12 (см).

$∆$АОВ ($\angle$О = 90$°$):

S_AOB = $\frac{1}{2}$AO • BO = $\frac{1}{2}$ • 12 • 10 = 60 (см²).

S_ABC = 3 • S_AOB = 3 • 60 = 180 (см²).

Відповідь: 180 см².