Відповіді на вправи § 25 - 33: 31.18

31.18. У $∆$ABC бісектриси AK і BM перетинаються в точці I, AI : IK = 2 : 1, BI : IM = 4 : 1. Знайдіть найбільший кут трикутника ABC.

Дано: $∆$АВС; АК, ВМ – бісектриси, АК Х ВМ = І;

АІ : ІК = 2 : 1; ВІ : ІМ = 4 : 1.

Знайти: найбільший кут $∆$АВС.

Розв’язання

За властивістю бісектриси:

$\frac{\mathrm{AI}}{\mathrm{IK}}$ = $\frac{\mathrm{AB}+\mathrm{AC}}{\mathrm{BC}}$; $\frac{\mathrm{AB}+\mathrm{AC}}{\mathrm{BC}}$; $\frac{2}{1}$; AB + AC = 2BC.

$\frac{\mathrm{BI}}{\mathrm{IM}}$ = $\frac{\mathrm{BA}+\mathrm{BC}}{\mathrm{AC}}$; $\frac{\mathrm{BA}+\mathrm{BC}}{\mathrm{AC}}$ = $\frac{4}{1}$; AB + BC = 4AC

Виразимо всі сторони через ВС.

AB = 2BC – AC; AB + BC = 4AC;

2BC – AC + BC = 4AC; 3BC = 5AC; AC = $\frac{3}{5}$BC;

AB = 2 • BC – $\frac{3}{5}$ BC = $\frac{7}{5}$ BC.

Отже, BC : AC : AB = 1 : $\frac{3}{5}$ BC : $\frac{7}{5}$ BC = 5 : 3 : 7.

Найбільший кут лежить проти АВ.

За теоремою косинусів у $∆$АВС:

AB² = BC² + AC² – 2 • BC • AC • cos C.

7² = 25 + 9 – 30 • cos C;

49 = 34 – 30 • cos C;

30 • cos C = 34 – 49;

30 • cos C = –15|: 30;

cos C = –$\frac{1}{2}$. $\angle$C = 120$°$.

Відповідь: 120$°$.