Відповіді на вправи § 1 - 5: 3.40

3.40. Доведіть, що трикутник ABC з вершинами в точках А (–4; 16), B(6; –4), С(3; –5) – прямокутний. Знайдіть гострі кути трикутника з точністю до мінути.

AB = $\sqrt{{(6-(-4))}^2+{(-4-16)}^2}$ = $\sqrt{100+400}$ = $\sqrt{500}$;

BC = $\sqrt{{(3-6)}^2+{(-5-(-4\left)\right)}^2}$ = $\sqrt{9+1}$ = $\sqrt{10}$;

AC = $\sqrt{{(3-(-4))}^2+{(-5-16)}^2}$ = $\sqrt{49+441}$ = $\sqrt{490}$;

AB² = BC² + AC², так як ($\sqrt{500}$)² = ($\sqrt{10}$)² + ($\sqrt{490}$)², тобто 500 = 10 + 490, то ∆АВС – прямокутний.

$\angle$A і $\angle$B – гострі кути прямокутного трикутника.

sin $\angle$A = $\frac{\mathrm{CB}}{\mathrm{AB}}$ = $\frac{\sqrt{10}}{\sqrt{500}}$ = $\sqrt{\frac{1}{50}}$ = $\sqrt{\mathrm{0,02}}$ = 0,1414; $\angle$A = 8°08’ (знаходимо за таблицею або за допомогою калькулятора).

$\angle$B = 90° – $\angle$A = 90° – 8°08’ = 81°52’.