Відповіді на вправи § 25 - 33: 27.18

27.18. Радіус кола, описаного навколо рівнобедреного трикутника, дорівнює бічній стороні трикутника. Знайдіть площу трикутника, якщо його основа дорівнює а.

Дано: $∆$АВС, вписаний в коло з центром О;

AB = R; AC = a.

Знайти: S_ABC.

Розв’язання

OA = OB = R – за умовою, AB = R – за умовою $\Rightarrow$ $∆$АОВ – рівносторонній. Тоді $\angle$АВО = 60$°$.

У рівнобедреному $∆$АВС висота ВН також є медіаною. АН = $\frac{1}{2}$ АС = $\frac{a}{2}$.

$∆$AHB ($\angle$H = 90$°$): tg $\angle$ABH = $\frac{\mathrm{AH}}{\mathrm{BH}}$;

BH = $\frac{\mathrm{AH}}{\mathrm{tg}\angle \mathrm{ABH}}$ = $\frac{a}{2•\mathrm{tg}60°}$ = $\frac{a}{2\sqrt{3}}$ = $\frac{a\sqrt{3}}{6}$.

S_ABC = $\frac{1}{2}$ • AC • BH = $\frac{1}{2}$ • a • $\frac{a\sqrt{3}}{6}$ = $\frac{a^2\sqrt{3}}{12}$.

Відповідь: $\frac{a^2\sqrt{3}}{12}$.