Відповіді на вправи § 25 - 33: 27.20

27.20. Сторони прямокутного трикутника утворюють геометричну

прогресію зі знаменником q, де q > 1. Знайдіть q.

Дано: $∆$АВС ($\angle$С = 90$°$); довжини ВС, АС, АВ – геометрична прогресія зі знаменником q.

Знайти: q.

Розв’язання

Нехай ВС = а; АС = aq; AB = aq².

$∆$ABC ($\angle$C = 90$°$):

AB² = BC² + AC²;

(aq²)² = a² + (aq)²;

a²q⁴ = a² + a²q² |: a²;

q⁴ = 1 + q²;

q⁴ – q² – 1 = 0;

q² = t; t > 0;

t² – t – 1 = 0;

D = (–1)² – 4 • 1 • (–1) = 1 + 4 = 5.

t₁ = $\frac{1-\sqrt{5}}{2}$ < 0; t₂ = $\frac{1+\sqrt{5}}{2}$.

q² = $\frac{1+\sqrt{5}}{2}$; q = $\sqrt{\frac{1+\sqrt{5}}{2}}$.

Відповідь: $\sqrt{\frac{1+\sqrt{5}}{2}}$.