Відповіді на вправи § 11 - 14: 11.47

11.47. Кут між медіаною і висотою, проведеними з вершини прямого кута прямокутного трикутника, дорівнює $\alpha$. Знайдіть катети трикутника, якщо його гіпотенуза дорівнює с.

У ∆АВС $\angle$C = 90°, СD $\perp$ АВ, СМ — медіана, проведена до гіпотенузи.

Тоді АМ = МС = МВ. Отже, ∆АМС — рівнобедрений.

За умовою $\angle$DCM = $\alpha$, тоді з ∆СDМ $\angle$СМА = 90° – $\alpha$,

$\angle$A = $\angle$ACM = $\frac{180°-\angle \mathrm{CMA}}{2}$ = $\frac{180°-(90°-\alpha )}{2}$ = 45° + $\frac{\alpha }{2}$.

З ∆АВС АС = АВ cos А = с cos (45° + $\frac{\alpha }{2}$),

ВС = АВ sin $\alpha$ = c sin(45° + $\frac{\alpha }{2}$).

Відповідь: с cos (45° + $\frac{\alpha }{2}$), c sin (45° + $\frac{\alpha }{2}$).