Відповіді на вправи § 11 - 14: 11.34

11.34. Середня за довжиною сторона трикутника на 1 см більша за меншу сторону і на 1 см менша за більшу сторону. Косинус середнього за величиною кута трикутника дорівнює $\frac{2}{3}$. Знайдіть периметр трикутника.

Позначимо сторони трикутника а, b і с, тоді а < b < с. Тоді b = х см,

а = (х – 1) см, с = (x + 1) см. Середній кут — це кут В, що лежить

навпроти середньої сторони b, отже, сов В = $\frac{2}{3}$. За теоремою косинусів b² = а² + с² – 2ас cos В, х² = (х – 1)² + (х +1)² – 2(х – 1) • (x + 1) • $\frac{2}{3}$; х² = х² – 2х + 1 + х² + 2х + 1 – $\frac{4}{3}$ х² + $\frac{4}{3}$; $\frac{1}{3}$х² = 2$\frac{4}{3}$;

х² = 10, x = $\sqrt{10}$.

Отже, b = $\sqrt{10}$ см, а = ($\sqrt{10}$ – 1) см, с = ($\sqrt{10}$ + 1) см.

Р∆ = $\sqrt{10}$ + $\sqrt{10}$ – 1 + $\sqrt{10}$ + 1 = 3$\sqrt{10}$ (см).

Відповідь: 3$\sqrt{10}$ см.