Відповіді на вправи § 11 - 14: 11.36

11.36. Дві сторони трикутника дорівнюють 10 см і 7 см, а синус кута

між ними дорівнює 0,8. Знайдіть третю сторону трикутника. Скільки

розв’язків має задача?

Нехай а, b і с — сторони трикутника, а = 10 см, b = 7 см, sin С = 0,8.

Оскільки sin² С + cos² С = 1, то cos² С = 1 – sin² С;

cos C = $\sqrt{{1-\sin }^{2}C}$ або cos C = –$\sqrt{{1-\sin }^{2}C}$.

Задача має два розв’язки:

cos С = $\sqrt{{1-\mathrm{0,8}}^2}$ = $\sqrt{\mathrm{0,36}}$ = 0,6 або cos С = –$\sqrt{{1-\mathrm{0,8}}^2}$ = –$\sqrt{\mathrm{0,36}}$ = –0,6.

Якщо cos С = –0,6, то с² = а² + b² – 2аb • cos С = 10² + 7² + 2 • 10 • 7 • 0,6 = 100 + 49 + 84 = 233; с = $\sqrt{233}$ см.

Якщо cos С = 0,6, то с² = а² + b² – 2ab cos С = 10² + 7² – 2 • 10 • 7 • 0,6 = 100 + 49 – 84 = 65; с = $\sqrt{65}$ см.

Відповідь: $\sqrt{65}$ см або $\sqrt{233}$ см.