Вправи: 1160

1160. Точки M₁ і M₂ лежать на прямій ax + by + c = 0. Доведіть, що вектор M1M2 перпендикулярний до вектора p(а; b).

Нехай M₁(x₁; y₁), M₂(x₂; у₂), тоді M1M2(х₂ – x₁; у₂ – у₁).

За умовою точки М₁ і М₂ лежать на прямій, значить, їх координати задовольняють її рівняння: ax₁ + by₁ + c = 0,

ах₂ + bу₂ + с = 0.

Віднімемо перше рівняння системи від другого. ах₂ – ах₁ + bу₂ –

– bу₁ = 0; а(х₂ – x₁) + b(у₂ – y₁) = 0.

Знайдемо скалярний добуток векторів. M1M2 • р(а; b) = а(х₂ – х₁) +

+ b(у₂ – у₁).

Але ми тільки що показали, що цей вираз дорівнює 0. Отже, M1M2 •

• p = 0, значить, M1M2 ⊥ p.