Вправи: 1157

1157. Доведіть за допомогою векторів, що всі медіани трикутника перетинаються в одній точці й діляться цією точкою у відношенні

2 : 1, рахуючи від вершини.

Нехай у ∆ABC його медіани AD і ВС перетинаються в точці О.

AD = 12 AB + 12 AC (якби ми

знаходили суму AB + AC за правилом паралелограма, то точка D була б точкою перетину його діагоналей, а вектор AD відповідно — половині

суми). Але точка О лежить на відрізку АО: AO = λ2 AB + λ2 AC. Аналогічно BO = kBE, 0 < k <1, BE = AE – AB, AO = AB + BO.

Звідси AO = AB + k(AC2 – AB) = k2 AC + (1 – k) AB.

Тоді (1 – k) AB + k2 AC = λ2 AB + λ2 AC, (1 – k – λ2) AB = (λ2 + k2) AC.

Але AB і AC не колінеарні, і ця рівність можлива лише при одночас–

ному виконанні рівностей λ = k,

k + λ2 = 1.

Звідки λ = k = 23. Отже, AO = 23 AD і BO = 23 BE. Замінивши в міркуваннях BE на CF, ми знову отримаємо, що ці медіани перетинаються в точці відрізка AD, віддаленого від точки А на 23, тобто в точці О. Таким чином, всі три медіани перетинаються в точці О і при цьому AO = 23 AD, BO = 23 BE, CO = 23 СЕ.