Вправи: 1140

1140. Доведіть, що відстань від точки А (х₀; у₀) до прямої

ах + by + с = 0 можна знайти за формулою.

Перепишемо рівняння прямої, щоб визначити її кутовий коефіцієнт:

ах + bу + с = 0; у = –abx – cb. Отже, k = –ab. З точки А опустимо перпендикуляр АР на дану пряму. Тоді кутовий коефіцієнт прямої АР

дорівнює ba і її рівняння має вигляд

у = ba (х – х₀) + у₀. Для того, щоб знайти координати точки Р, потрібно розв’язати систему

ax + by + c = 0,

y = ba (x – x₀) + y₀. Перепишемо цю систему у такому вигляді:

a(x – x₀) + b(y – y₀) + ax₀ + by₀ + c = 0,

y – y₀ = ba (x – x₀);

x – x₀ = –aa2+ b2 (ax₀ + by₀ + c),

y – y₀ = –ba2+ b2 (ax₀ + by₀ + c).

Отже, PA² = (x – x₀)² + (y – y₀)² = (ax0+by0+c)2a2+b2, звідки

РА = |ax0+by0+c|a2+b2.