Відповіді на вправи підручника: 965

965. Через центр правильного трикутника проведено дві прямі, кут між якими дорівнює 60°. Доведіть, що відрізки цих прямих, які містяться між сторонами трикутника, рівні між собою.

Якщо при повороті навколо т. А на 60°, B $\to$ C, то AB = AC, $\angle$BAC = 60°. Якщо C $\to$ D, то AC = AD, $\angle$CAD = 60°. Тоді ∆BAC = ∆CAD за двома сторонами і кутом між ними. Ці трикутники рівнобедрені з кутом 60° при вершині, тоді $\angle$ABC = $\angle$ACB = $\angle$ACD = $\angle$ADC = $\frac{180°-60°}{2}$ = 60°. Отже, ∆BCA і ∆CAD рівносторонні і BC = CD = AD = AB. Протилежні сторони чотирикутника ABCD рівні, тоді ABCD – ромб. Що й треба було довести.