Відповіді на вправи підручника: 964

964. Доведіть, що рівносторонній трикутник при повороті навколо точки перетину його висот на кут 120° переходить у себе.

Нехай у ∆ABC AB = BC = AC, О – точка перетину висот, які в рівносторонньому трикутнику є медіанами і бісектрисами. Точка О – центр кола, описаного навколо трикутника, OB = ОА = ОС.

∆BOC = ∆COA = ∆AOB за трьома сторонами (AB = BC = AC, OB = OC, OC = OA, OA = OB) і рівнобедрені, тоді $\angle$OBC = $\angle$OCB = $\angle$OCA = $\angle$OAC = $\angle$OAB = $\angle$OBA = $\frac{60°}{2}$ = 30°.

Тоді $\angle$BOC = $\angle$COA = $\angle$AOB = 180° – 2 • 30° = 120°.

При повороті навколо точки О на 120° за годинниковою стрілкою

B $\to$ C, C $\to$ A, A $\to$ B, BC $\to$ CA, CA $\to$ AB, AB $\to$ BC, тобто трикутник переходить у себе. Що й треба було довести.