Відповіді на вправи підручника: 74

74. Доведіть, що трикутник АВС є прямокутним, якщо:

1) А (0; 0), В (1; 2), С (3; 1); 2) А (5; 1), В (7; 2), С (9; –2).

Знайдемо сторони трикутника. Якщо сума квадратів двох із них дорівнює квадрату третьої сторони, то трикутник прямокутний.

1) якщо А(0; 0); В(1; 2), С(3; 1), то

АВ = $\sqrt{{(0-1)}^2+{(0-2)}^2}$ = $\sqrt{1+4}$ = $\sqrt{5}$;

АС = $\sqrt{{(0-3)}^2+{(0-1)}^2}$ = $\sqrt{9+1}$ = $\sqrt{10}$;

ВС = $\sqrt{{(1-3)}^2+{(2-1)}^2}$ = $\sqrt{4+1}$ = $\sqrt{5}$.

АС² = АВ² + ВС², оскільки ($\sqrt{10}$)² = ($\sqrt{5}$)² + ($\sqrt{5}$)², тоді ∆АВС – прямокутний;

2) якщо А(5; 1); В(7; 2), С(9; –2), то

АВ = $\sqrt{{(5-7)}^2+{(1-2)}^2}$ = $\sqrt{4+1}$ = $\sqrt{5}$;

АС = $\sqrt{{(5-9)}^2+{(1+2)}^2}$ = $\sqrt{16+9}$ = 5;

ВС = $\sqrt{{(7-9)}^2+{(2+2)}^2}$ = $\sqrt{4+16}$ = $\sqrt{20}$.

АС² = АВ² + ВС², оскільки 5² = ($\sqrt{5}$)² + ($\sqrt{20}$)², тоді ∆АВС – прямокутний.