Відповіді на вправи підручника: 637

637. Доведіть, що площа чотирикутника дорівнює половині добутку

його діагоналей на синус кута між ними.

Дано: чотирикутник ABCD, O – точка перетину діагоналей; BD = d₁, AC = d₂, $\angle$DOC = $\alpha$.

Довести: S_ABCD = $\frac{1}{2}$d₁d₂sin $\alpha$.

Доведення.

S_DOC = $\frac{1}{2}$OD • OC sin $\alpha$;

S_AOB = $\frac{1}{2}$AO • OB sin $\alpha$;

S_AOB = $\frac{1}{2}$ (d₁ – OD)(d₂ – OC) sin $\alpha$;

S_BOC = $\frac{1}{2}$OB • OC sin $\angle$BOC = $\frac{1}{2}$ (d₁ – OD)OC sin $\alpha$, оскільки sin(180° – $\alpha$) = sin $\alpha$;

S_AOD = $\frac{1}{2}$AO • OD sin$\angle$AOD = $\frac{1}{2}$ (d₂ – OC)OD sin $\alpha$.

S_ABCD = S_DOC + S_AOB + S_BOC = S_AOD = $\frac{1}{2}$sin $\alpha$ (OD • OC + (d₁ – OD)(d₂ – OC) + (d₁ – OD) • OC + (d₂ – OC) • OD) = $\frac{1}{2}$sin $\alpha$ (OD • OC + d₁d₂ – d₁OC – d₂OD + OD • OC + d₁OC – OD • OC + d₂OD – OC • OD) = $\frac{1}{2}$sin $\alpha$ d₁d₂.

Отже, S_ABCD = $\frac{1}{2}$d₁d₂ sin $\alpha$, що й треба було довести.