Відповіді на вправи підручника: 635

635. Доведіть, що площа паралелограма дорівнює половині добутку

його діагоналей на синус кута між ними.

Дано: ABCD – паралелограм; О – точка перетину АС і BD; AC = d₁, BD = d₂; BOA = $\alpha$.

Довести: S_ABCD = $\frac{1}{2}$d₁d₂ sin $\alpha$.

Доведення. Діагоналі паралелограма точкою перетину діляться навпіл, тому OB = OD = $\frac{1}{2}$d₂, OA = OC = $\frac{1}{2}$d₁;

$\angle$BOC = 180° – $\angle$BOA = 180° – $\alpha$.

S_∆AOB = $\frac{1}{2}$OA • OB • sin$\angle$BOA,

S_∆AOB = $\frac{1}{2}$ • ($\frac{1}{2}$d₁) • ( $\frac{1}{2}$d₂)sin $\alpha$ = $\frac{1}{8}$d₁d₂ sin $\alpha$.

∆COD = ∆AOB, в отже, S_∆COD = S_∆AOB = $\frac{1}{8}$d₁d₂ sin $\alpha$.

S_∆BOC = $\frac{1}{2}$OC • OB • sin$\angle$BOC, S_∆BOC = $\frac{1}{2}$ • ($\frac{1}{2}$d₁)( $\frac{1}{2}$d₂)sin(180° – $\alpha$) = $\frac{1}{8}$d₁d₂ sin $\alpha$.

∆DOA = ∆BOC, а отже, S_∆DOA = S_∆BOC = $\frac{1}{8}$d₁d₂ sin $\alpha$.

Діагоналі паралелограма розбивають його на рівні трикутники. Тоді

S_ABCD = 4 • S_∆AOB, S_ABCD = 4 • $\frac{1}{8}$d₁d₂ sin $\alpha$, SABCD = $\frac{1}{2}$d₁d₂ sin $\alpha$.

Що й треба було довести.