Відповіді на вправи підручника: 579 (1)

579. У паралелограмі діагональ дорівнює d, сторона — а, а кут між

ними — α. Знайдіть невідомі діагональ, сторону й кути паралелограма, якщо:

Нехай у паралелограмі ABCD AC = d, AD = a, ∠CAD = α. Тоді за теоремою косинусів з ∆ACD маємо:

CD² = AC² + AD² – 2AC • CD cos ∠CAD;

CD² = d² + a² – 2ad cos α,

CD = $\sqrt{d^2+a^2-2\mathrm{ad}\cos \alpha }$;

за теоремою синусів $\frac{\mathrm{AC}}{\sin \angle D}$ = $\frac{\mathrm{CD}}{\sin \angle \mathrm{CAD}}$, sin∠D = $\frac{\mathrm{AC}\sin \angle \mathrm{CAD}}{\mathrm{CD}}$,

sin∠D = $\frac{d\sin \alpha }{\mathrm{CD}}$, ∠B = ∠D, ∠A = 180° – ∠D, ∠C = ∠A.

Із ∆ABD: BD = $\sqrt{{\mathrm{AD}}^2+{\mathrm{AB}}^2-2\mathrm{AD}•\mathrm{AB}•\cos \angle A}$,

BD = $\sqrt{a^2+{\mathrm{CD}}^2-2a•\mathrm{CD}•\cos \angle A}$. Отже:

1) якщо d = 10, a = 6, α = 20°, то

CD = $\sqrt{{10}^2+6^2-2•10•6•\cos 20°}$ ≈ $\sqrt{136-120•\mathrm{0,9397}}$ ≈ $\sqrt{\mathrm{23,236}}$ ≈ 4,8;

sin ∠D ≈ $\frac{10•\sin 20°}{\mathrm{4,8}}$ ≈ $\frac{10•\mathrm{0,342}}{\mathrm{4,8}}$ = 0,7125, ∠D ≈ 45°30’ або

∠D = 180° – 45°30’ = 134°30’.

∠D лежить проти найбільшої сторони ∆ACD, тому ∠B = ∠D = 134°30’.

Тоді ∠С = ∠А = 180° – 134°30’ = 45°30’.

BD = $\sqrt{6^2+{\mathrm{4,8}}^2-2•6•\mathrm{4,8}•\cos 45°30\text{'}}$ ≈ $\sqrt{\mathrm{59,04}-\mathrm{57,6}•\mathrm{0,7}}$ ≈ 4,3.

Відповідь: BD = 4,3; CD = 4,8; ∠B = ∠D = 134°30’, ∠A = ∠C = 45°30’.

2) якщо d = 12, a = 5, α = 35°, то

CD = $\sqrt{{12}^2+5^2-2•12•5•\cos 35°}$ ≈ $\sqrt{169-120•\mathrm{0,8192}}$ ≈ $\sqrt{\mathrm{70,696}}$ ≈ 8,4;

sin ∠D ≈ $\frac{12•\sin 35°}{\mathrm{8,4}}$ ≈ $\frac{12•\mathrm{0,5736}}{\mathrm{8,4}}$ ≈ 0,8194, ∠D ≈ 125°; ∠B = 125°;

∠A = 180° – 125° = 55°. ∠C = 55°;

BD = $\sqrt{25+{\mathrm{8,4}}^2-2•5•\mathrm{8,4}•\cos 55°}$ ≈ $\sqrt{\mathrm{95,56}-84•\mathrm{0,5736}}$ ≈ $\sqrt{\mathrm{47,38}}$ ≈ 6,9.

Відповідь: CD ≈ 8,4; BD ≈ 6,9; ∠A = ∠C = 55°, ∠B = ∠D = 125°.

3) якщо d = a = 5, α = 32°, то ∆ACD рівнобедрений (AC = AD), тоді

∠ACD = D = $\frac{180°-\angle \mathrm{CAD}}{2}$, ∠D = $\frac{180°-32°}{2}$ = 74°, ∠B = 74°, ∠A = 180° – 74° = 106°, ∠C = 106°;

CD = $\sqrt{5^2+5^2-2•5•5\cos 32°}$ ≈ $\sqrt{50-50•\mathrm{0,848}}$ = $\sqrt{\mathrm{7,6}}$ ≈ 2,8;

BD ≈ $\sqrt{5^2+{\mathrm{2,8}}^2-2•5•\mathrm{2,8}\cos 106°}$ ≈ $\sqrt{\mathrm{32,84}+28•\mathrm{0,2756}}$ = $\sqrt{\mathrm{40,5568}}$ = 6,4.

Відповідь: CD ≈ 2,8; BD ≈ 6,4, ∠A = ∠C = 106°; ∠B = ∠D = 74°.