Відповіді на вправи підручника: 556

556. Доведіть, що сума квадратів діагоналей паралелограма дорівнює сумі квадратів його сторін.

Нехай у паралелограмі ABCD AB = a, AD = b, $\angle$A = $\alpha$, BD = d₁,

AC = d₂, тоді $\angle$D = 180° – $\alpha$. Із ∆ABD маємо: $d_1^2$ = a² + b² – 2ab cos $\alpha$;

із ∆ACD $d_2^2$ = a² + b² – 2ab cos(180° – $\alpha$), $d_2^2$ = a² + b² + 2ab cos $\alpha$.

Знайдемо $d_1^2$ + $d_2^2$ = a² + b² – 2ab cos $\alpha$ + a² + b² + 2ab cos $\alpha$;

$d_1^2$ + $d_2^2$ = 2a² + 2b². Отже, сума квадратів діагоналей паралелограма дорівнює сумі квадратів його сторін. Що й треба було довести.