Відповіді на вправи підручника: 364

364. Дано точки А, В, С і D. Точки М і N — середини відрізків АС і ВD. Доведіть, що $\overline{\mathrm{MN}}$ = $\frac{1}{2}$($\overline{\mathrm{AD}}$ + $\overline{\mathrm{CB}}$).

Дано: точки A, B, C i D;

M i N – середина відрізків $\overline{АС}$ і $\overline{\mathrm{BD}}$.

Довести: $\overline{\mathrm{MN}}$= $\frac{1}{2}$($\overline{\mathrm{AD}}$ + $\overline{\mathrm{CB}}$).

Доведення

За правилом трикутника запишемо:

$\overline{\mathrm{MN}}$ = $\overline{\mathrm{MD}}$ + $\overline{\mathrm{DN}}$ = ($\overline{\mathrm{MA}}$ + $\overline{\mathrm{AD}}$) + $\overline{\mathrm{DN}}$;

$\overline{\mathrm{MN}}$ = $\overline{\mathrm{MB}}$ + $\overline{\mathrm{BN}}$ = ($\overline{\mathrm{MC}}$ + $\overline{\mathrm{CB}}$) + $\overline{\mathrm{BN}}$.

Додавши ліві і праві частини одержаних рівностей, маємо:

2$\overline{\mathrm{MN}}$= ($\overline{\mathrm{AD}}$ + $\overline{\mathrm{CB}}$) + ($\overline{\mathrm{MA}}$ + $\overline{\mathrm{MC}}$) + ($\overline{\mathrm{DN}}$ + $\overline{\mathrm{BN}}$);

$\overline{\mathrm{MC}}$ = –$\overline{\mathrm{MA}}$; $\overline{\mathrm{DN}}$ = –$\overline{\mathrm{BN}}$;

2$\overline{\mathrm{MN}}$ = ($\overline{\mathrm{AD}}$ + $\overline{\mathrm{CB}}$) + ($\overline{\mathrm{MA}}$ – $\overline{MA}$) + (–$\overline{\mathrm{BN}}$ + $\overline{\mathrm{BN}}$);

2$\overline{\mathrm{MN}}$ = ($\overline{\mathrm{AD}}$ + $\overline{\mathrm{CB}}$) + $\bar{0}$ + $\bar{0}$;

2$\overline{\mathrm{MN}}$ = $\overline{\mathrm{AD}}$ + $\overline{\mathrm{CB}}$ |: 2;

MN = $\frac{1}{2}$(AD + CB). Доведено.